Правильно писать:
«Айболит»

Каким правилом руководствоваться?

Большая буква и кавычки в именах собственных

Данное правило гласит:
Имена собственные пишутся с большой буквы.
Заглавия книг, названия журналов, газет, картин, кинофильмов, спектаклей, заводов, фабрик, кораблей и т.д. не только пишутся с большой буквы, но и заключаются в кавычки.

Неправильно писать
«айболит»

Употребление слова в цитатах «Айболит»

Айболит снял докторскую шапочку, протёр лысину и снова водрузил на место головной убор.

Улыбка айболита выдавала в нём настоящего маньяка.