Как пишется?

Правильно писать:
«БУЛЬОНЧИК»

Какое правило применять при написании?

Употребление ь для обозначения мягкости согласных

В правилах сказано
В сочетаниях ч, щ с другими согласными буквами мягкий знак для обозначения мягкости не пишется.

НЕВЕРНО!
«БУЛЬОНЬЧИК»

Употребление слова в цитатах «бульончик»

Гляди ка, я тебе бульончику налью, а то, поди, сухой кусок в горле застрял.

Манька всё это время крутилась в своём колесе, варилась в старом бульончике,

– Ну конечно, лёгкое… мясной бульончик и пюре картофельное с куриной котлеткой.