Как пишется слово?

Правильно писать:
«ДОГОНИШЬ»

По какому правилу проверить слово «догонишь»

Гласные и согласные в приставках, кроме приставок на -з (-с)

Данное правило гласит:
Гласные и согласные в приставках, кроме приставок на -з (-с) и приставок пре- и при-, пишутся одинаково независимо от произношения.
Их можно проверить, подобрав другие слова с данной приставкой, гласные и согласные в которых находятся в сильной позиции.

Неправильно
«ДАГОНИШЬ»

Употребление слова в цитатах «догонишь»

Со временем хозяева ремесленных мастерских осознали свою ошибку и перестали гнаться за количеством, в попытках догнать промышленные предприятия.
PEOLLA, Техники дизайна вышивки

Британского адмирала впоследствии порицали за то, что он не ушёл под защиту своего линкора, но в этом случае у него не было бы ни единого шанса догнать более быстроходного противника.

На широких охотничьих лыжах молодым ламутам не стоило труда догнать их.