Правильно писать:
«ДОРОЖЕНЬКА»

Каким правилом проверить

Непроверяемые безударные гласные в корне слова

Правило звучит так:
Правописание непроверяемых безударных гласных в корне слова нужно запоминать.

Неправильно
«ДАРОЖЕНЬКА»

Примеры предложений со словом «дороженька»

Много людей добрых на кривую дороженьку посводила ведьма та черновласая.

А барчонок маячил-маячил, да как во всё горло заголосит: «Не одна-то во поле дороженька».

До кажущегося совсем близким белого дыма пришлось проехать приличное расстояние по узкой дороженьке подлеска.