Как пишется слово?

Правильно писать:
«НЕ УЙДЁТ»

Какое правило применять при написании?

Не с глаголами

Правило звучит так:
Не пишется с глаголами раздельно. Исключения составляют те глаголы, которые не употребляются без не.

Неправильно писать
«НЕУЙДЁТ»

Употребление слова в цитатах «не уйдёт»

Клиент часто, пока жалуется, перескакивает с темы на тему, порой забывая, с чем именно он пришёл, однако психотерапевт помнит всё и следит, чтобы разговор не ушёл в другую сторону.
Лидия Осипова, Золотые навыки психотерапии. Практическое руководство психолога-консультанта

Однако он почему-то не ушёл даже после завтрака, и всю субботу они были заняты друг другом.
Наталья Александрова, Шаг в бездну