Как пишется слово?

Правильно писать:
«ПРОЧТИ»

Каким правилом руководствоваться?

Употребление ь для обозначения мягкости согласных

В правилах сказано
В сочетаниях ч, щ с другими согласными буквами мягкий знак для обозначения мягкости не пишется.

НЕВЕРНО!
«ПРОЧЬТИ»

«ПРОЧТИ» в контексте

К большому удивлению, после тщательного обследования места катастрофы нашли удостоверения личности, паспорта некоторых погибших, на которых хоть и с трудом, удалось прочесть фамилии и год выдачи документов.

Но и их, и всё стихотворение целиком после правки прошу прочесть несколько раз вслух.
Елена Коровина, Черный дракон, 2013

На многих и многих железных надгробиях уже нельзя прочесть имён и дат жизни и смерти.