Правильно писать:
«ПРОЩАЕМСЯ»

Какое правило применять при написании?

Буквы и, у, а после шипящих

Правило звучит так:
После шипящих ж, ч, ш, щ пишутся гласные и, у, а (не пишутся ы, ю, я !).

Исключения из правила

Брошюра, жюри, парашют.

Неправильно
«ПРОЩЯЕМСЯ»

«ПРОЩАЕМСЯ» в контексте

Здесь прощалась с близкой подругой, а здесь, в этом доме, были самые бессонные ночи.

Осаждённые молча прощались друг с другом, обнимали родных и близких, соседей по крепостной стене.