Правильно писать:
«ВЬЁТ»

По какому правилу проверить слово «вьёт»

Разделительный ъ и ь

В правилах сказано
Разделительный ъ пишется перед буквами е, ё, ю, я после приставок на согласные.
В остальных случаях перед теми же буквами и перед буквой и пишется разделительный ь.

«ВЬЁТ» в контексте

Зверьё сюда не забредало, даже белые орлы не вили здесь гнёзд

Разве что птицами, которые с удовольствием вили в ней свои гнезда.